|
Grafiku i njё funksioni kuadratik ka formё "U"-je dhe quhet parabolё.
Shqyrtimi kryhet duke ndryshuar vlerat e tё 3 koeficientёve a, h dhe k.
Pasi ta mbaroni kёtё mёsim, ju mund tё shkoni te njё mёsim tjetёr: Ndёrtimi i grafikut tё funksioneve kuadratike.
Kjo formё e funksioneve kuadratike quhet edhe forma standarte ose "forma me kulm".
A - Vlerat e kulmit, maksimumit dhe minimumit tё njё funksioni kuadratik
f(x) = a(x - h)2 + k
Termi (x - h)2 ёshtё njё katror binomi, kёshtu qё ёshtё pozitiv ose zero.
(x - h)2 ≥ 0
Nёse i shumёzoni tё dy anёt e mosbarazimit me koeficientin a, ka dy mundёsi
pёr t'u shqyrtuar , a ёshtё pozitive ose a ёshtё negative.
rasti 1: a ёshtё pozitive
a(x - h)2 ≥ 0.
Shtojmё k nё tё dy anёt e mosbarazimit
a(x - h)2 + k ≥ k.
Ana e majtё paraqet f(x), kёshtu qё f(x) ≥ k. Kjo dmth qё k ёshtё vlera minimale e funksionit f.
rasti 2: a ёshtё negative
a(x - h)2 ≤ 0.
Shtojmё k te tё dy anёt e mosbarazimit
a(x - h)2 + k ≤ k.
Ana e majtё paraqet f(x), kёshtu qё f(x) ≤ k. Kjo dmth qё k ёshtё vlera maksimale e funksionit f.
Vini re se k = f(h), pra pika (h, k) paraqet njё pikё minimumi kur a ёshtё pozitive dhe njё
pikё maksimumi kur a ёsht negative. Kjo pikё quhet kulmi i grafikut tё f.
Shembull: Gjej kulmin e grafikut tё secilit nga funksionet mё poshtё dhe identifikoni nёse ёshtё njё minimum ose maksimum.
a) f(x) = -(x + 2)2 - 1
b) f(x) = -x2 + 2
c) f(x) = 2(x - 3)2
a) f(x) = -(x + 2)2 - 1 = -(x - (-2))2 - 1
a = -1 , h = -2 and k = -1. Kulmi ёshtё nё (-2, -1) dhe ёshtё njё pikё maksimumi meqё a ёshtё negative.
b) f(x) = -x2 + 2 = -(x - 0)2 + 2
a = -1 , h = 0 and k = 2. Kulmi ёshtё nё (0, 2) dhe ёshtё njё pikё maksimumi meqё a ёshtё negative.
c) f(x) = 2(x - 3)2 = 2(x - 3))2 + 0
a = 2 , h = 3 and k = 0. Kulmi ёshtё nё (3, 0) dhe ёshtё njё pikё minimumi meqё a ёshtё pozitive.
Mёsim Interaktiv
Pёrdor applet-in e mёposhtёm pёr tё studiuar grafikun
e njё funksioni kuadratik nё formёn standarte ("me kulm"): f(x) = a (x-h)2 + k ku keficientёt a, h dhe k mund tё ndryshohen nё panelin e dritares sё applet-it
. Fut vlerat e a, h dhe k nё kutitё e teksteve tё panelit dhe shtyp "Vizato". Vlerat e a , h, dhe k mund tё ndryshohen edhe me rreshqitёsat poshtё kutive.
1 - Pёrdor kutitё e panelit tё majtё tё applet-it pёr tё vendosur a me -1, h me -2 dhe k me 1. Kontrollo
pozicionin e kulmit dhe nёse ёshtё njё minimum ose njё maksimum .
Krahaso me pikёn A) tё shembullit mё lart.
2 - Vendos a me -1, h me 0 dhe k me 2. Kontrollo pozicionin e kulmit dhe nёse
ёshtё njё minimum apo njё maximum. Krahaso me pikёn B) te shembullit mё lart.
3 - Vendos a me 2, h me 3 dhe k me 0. Kontrollo pozicionin e kulmit dhe nёse ёshtё njё minimum
ose njё maksimum . Krahaso me pikёn c) tё shembuit mё lart.
4 - Vendos h dhe k me vlera çfardo dhe a me njё vlerё pozitive. Kontrollo qё kulmi ёshtё gjithmonё minimum.
5 - Vendos h dhe k me vlerё çfardo dhe a me njё vlerё negative. Kontrollo qё gjithmonё kulmi ёshtё njё maksimum .
B - Pikёprerjet me boshtin x tё grafikut tё funksionit kuadratik nё formё standarte
Pikёprerjet me boshtin x tё grafikut tё njё funksioni kuadratik f tё dhёnё nga
f(x) = a(x - h)2 + k
janё zgjidhjet reale , nёse ekzistojnё, tё ekuacionit kuadratik
a (x - h)2 + k = 0
shtojmё -k te tё dy anёt
a(x - h)2 = -k
pjestojmё anё pёr anё me a
(x - h)2 = -k / a
Ky ekuacion ka zgjidhje reale nёse - k / a ёshtё pozitive ose zero.
Zgjidhjet jepen nga
x1 = h + √(- k / a)
x2 = h - √(- k / a)
Shembull: Gjej pikёprerjet me boshtin x pёr grafikun e secilit nga funksionet e mёposhtёm
a) f(x) = -2(x - 3)2+ 2
b) g(x) = -(x + 2)2
c) h(x) = 4(x - 1)2 + 5
a) Pёr tё gjetur pikёprerjet me boshtin x, zgjidhim
-2(x - 3)2 + 2 = 0
-2(x - 3)2 = -2
(x - 3)2 = 1
dy zgjidhjet reale: x<1 = 3 + √1 = 4 dhe x2 = 3 - √1 = 2
Grafiku i funksionit tё pikёs a) ka dy pikёprerje /strong> me boshtin nё pikat (4,0) dhe (2, 0)
b) Zgjidhim ekuacionin:
-(x + 2)2 = 0
de njё zgjidhje reale e dyfishtё x1 = - 2
Grafiku i funksionin tё pikёs b) ka vetёm njё pikёprerje $x$ nё (-2, 0).
c) Zgjidhim ekuacionin:
4(x - 1)2 + 5 = 0
- k / a = - 5 / 4 ёshtё negative. Ky ekuacion nuk ka zgjidhje reale dhe grafiku i funksionit nuk
ka pikёprrje me boshtin x.
Mёsim Interativ
1 - Kthehu mbrapsht te dritarja e applet-it dhe vendos vlerat e a, h dhe k pёr secilin nga shembujt e pikave
a, b dhe c mё lart dhe kontrollo pikёprerjet me boshtin x tё grafikёve pёrkatёs.
2 - Pёrdor dritaren e applet-it pёr tё gjetur pikёprerjet me boshtin x pёr secilin nga funksionet e mё poshtёm.
Pёrdor metodёn analitike tё pёrshkruar nё shembujt mё lart pёr tё gjetur pikёprerjet me boshtin x dhe krahaso rezultatet.
a) f(x) = 5(x - 3)2 + 3
b) g(x) = -(x + 2)2 + 1
c) h(x) = 3(x - 1)2
3 - Pёrdor dritaren e applet-it dhe vendos a dhe k me vlera tё tilla qё -k / a < 0.
Sa pikёprerje me x-in ka grafiku i f ?
4 - Pёrdor dritaren e applet-it dhe vendos vlerёn e k me zero.
Sa pikёprerje me x-in ka grafiku i f ?
5 - Pёrdor dritaren e applet-it dhe vendos a dhe k me vlera tё tilla qё -k / a > 0.
Sa pikёprerje me x-in ka grafiku i f ?
C - Nga forma standarte ("me kulm") te forma e pёrgjithshme me a, b dhe c.
Pёr tё rishkruar formёn e pёrgjithshme nga forma me kulm e njё funksioni kuadratik kryejmё katrorin e binomit dhe grupojme termat e ngjashёm.
Shembull: Rishkruaj f(x) = -(x - 2)2 - 4 mnё formёn e pёrgjithshme me koeficientё a, b dhe c.
Kryejmё katrorin te f(x) dhe grupojmё termat e ngjashёm
f(x) = -(x - 2)2 - 4 = -(x2 -4 x + 4) - 4
= - x2 + 4 x - 8
Njё instruktim se si tё gjesh ekuacionin e njё funksioni kuadratik kur jepet
grafiku i tij gjendet nё kёtё faqe.
Mё shumё referenca mbi funksionet kuadratike dhe vetite e tyre, shiko:
|